First uniqueness theorem的證明

First uniqueness theorem：
一個空間V內的Laplace’s equation的解在已知包住這個空間的面S的電位的情況下只有唯一的一個解。

證明：
假設有在某個空間內的Laplace’s equation的解有兩個分別為V1,V2，
那麼可以得到在這個空間中

我們的目的是要證明V1一定要等於V2，

現在我們假設

令

那麼我們可以得到

而因為我們的前提是：我們已經知道了邊界上的值了，
所以無論在V1還是V2在邊界上的值都是一樣的，
所以在邊界上

但我們還記得Laplace’s equation有兩個特質，其中一個特質就是沒有local maximum or minimux 換言之，就是最大值還有最小值發生在邊界上。

現在的邊界值皆為零，代表最大值和最小值同時都是零，
所以也就可以說在該空間內，

Qed.

由此定理我們可以說：
只要我們生出一個方程式(不管你怎麼湊還是用什麼奇怪的方法)滿足了Laplace’s equation的解，同時又滿足邊界上的電位值，那麼這個方程式一定就是這個Laplace’s equation的唯一解。